Секрет решения задач по математике №3

  
Предварительно сделаю лишь одно чисто техническое примечание. В дальнейшем системы двух уравнений будут записываться в виде {<уравнение1> и <уравнение2>}.
 
Пример 1. Решите систему уравнений: {x3 + y3 = 7 и x3y3 = -8}.
 
1) (-2; 1), (-1 ; 2);      2) (-1; 3), (1 ; -1);      3) (2; -1), (-1 ; 1);    4) (2; 1), (-1 ; -2);      5) (-1; 2), (2 ; -1).    
 
Решение. Представим себе, что Вы на экзамене ЕНТ и на предложенное выше задание мгновенно даете правильный ответ 5). Возможно ли такое?
 
Да, возможно! Просто нужно еще раз посмотреть внимательно на данную систему уравнений (поднимите голову и посмотрите на систему уравнений и запомните ее). Поговорка говорит: "Смотреть и видеть не одно и тоже!". Действительно, многие смотрели на эту систему и не увидели, что если поменять x на y, а y на х, то ничего в системе не изменится. В таких случаях говорят, что система уравнений симметрична относительно переменных x и y.
 
Что это дает в нашем конкретном случае? А то, что если пара (a; b) является решением данной системы, то и пара (b; a) - тоже решение этой системы уравнений. Как, например, в ответе 5). Остальные ответы 1), 2), 3) и 4) явно неверные, так как в них содержатся несимметричные пары чисел.
 
Вот и все решение, которое, как было обещано ранее, не требует никаких вычислений, выполняется устно и мгновенно.
 
Примечание. Хочу уберечь читателей от возможной ошибки. Пара вида (а; а) симметрична сама себе. Это надо учитывать при решении симметричных систем уравнений в тестовых заданиях. Так, если в одном из ответов была бы пара типа (а; а), а другие ответы не содержали бы симметричных пар чисел, то только этот ответ нужно было бы признать правильным.
 
А вот еще одна система уравнений, для решения которого полезно применить идею симметрии.
 
Пример 2. Решите систему уравнений: {x2 - 2|х| - 3 = 0 и x + y = 6}.
 
1)(-2; 8), (7 ; 5);      2)(4; 2), (-9 ; 6);      3) (3; 3), (-3 ; 9);     4) (-6; 12), (-3 ; 9);      5) (-3; 6), (9 ; 0).    
 
Решение. Здесь, скажут некоторые, переменные х и y входят в систему несимметрично. Конечно, они правы! Однако симметрия в этой системе присутствует. Обратите внимание на первое уравнение. Функция, расположенная в ее левой части, является четной. Что дает это наблюдение для практики решения тестовых заданий? Да практически все. Это наше замечание позволяет решить данное тестовое задание "на вскидку", без карандаша и бумаги для математических выкладок.
 
Если некоторое число а будет решением первого уравнения, то и -а автоматически станет его решением. Поэтому ответы к этой задаче должны содержать пары вида (а; ...) и (-а; ...) или (0; ...) (0 = - 0). Поэтому все ответы кроме третьего неверны. Значит, верен только ответ 3).
 
Задания для самостоятельного решения
 
Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y = -2 и x2 + y2 = 100}.
 
1) (-8; 6), (6 ; -8);      2) (-5; 6);      3) (-6; 5), (2 ; 8);         4) (-9; 4), (2 ; 7);    5) (4; 5), (6 ; -5).    
 
Пример 2. Решите систему уравнений: {x - y = 4 и 3y2 - 2|y| - 1 = 0}.
1) (-3; -1), (5 ; -1);     2) (-3; 1), (-5; 1);     3) (3; -1), (5 ; 1);    4) (3; -1), (-5 ; -1);      5) (-3; 1), (5 ; 1).